Semigroupe de convolution \((\mu_t)_{t\in I}\)
Famille de Mesure de probabilités sur \({\Bbb R}\) telle que \(\mu_0\) est la Masse de Dirac \(\delta_0\) et $$\forall t,t^\prime\in I,\quad \mu_t*\mu_{t^\prime}=\mu_{t+t^\prime}$$

• interprétation probabiliste : si \(X\) a de loi \(\mu_t\) et \(X^\prime\) a de loi \(\mu_{t^\prime}\), sont indépendantes, alors \(X+X^\prime\) a pour loi \(\mu_{t+t^\prime}\)
• caractérisation si \(I={\Bbb N}\) : \(\exists\varphi:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\) tq \(\hat\mu_t(\xi)=\varphi(\xi)^t\)
• caractérisation si \(I={\Bbb R}_+\) : \(\exists\varphi:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\) tq \(\hat\mu_t(\xi)=\exp(-t\varphi(\xi))\)

Questions de cours

Démontrer les caractérisations des semigroupes de convolution.

On utilise la formule de la Transformée de Fourier d'une Convolution.

On conclut par injectivité de Fourier.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de familles de lois discrètes qui forment des semigroupes de convolution.
Verso: $$(\mathcal{Bin}(t,p))_{t\in I}\quad\text{ ou }\quad (\mathcal{Pois}(t))_{t\in I}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de familles de lois à densité qui forment des semigroupes de convolution.
Verso: $$(\operatorname{Gamma}(t,\theta))_{t\in I}\quad\text{ ou }\quad (\mathcal N(0,t))_{t\in I}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END